Заглянуть за горизонт

Шангин Ю.А.

Все с детства знают, что то-то и то-то невозможно. Но всегда находится невежда, который этого не знает.
Он-то и делает открытие.

Альберт Эйнштейн 

Большинство наших читателей знают, что такое «Кольцо Мёбиуса» [КМ], или, по крайней мере, слышали о нём. А тем, кто этого не знает, поясняю, что КМ знаменито тем, что имеет 2 поверхности, но при этом у него только одна сторона. Кроме того, при разрезании КМ вдоль, получаются новые кольца с совершенно неожиданными свойствами: с длиной окружности вдвое большей, чем у исходного, либо в виде двух продетых друг в друга колец. Мёбиус изготовил такое кольцо в материале и опубликовал его описание около 150 лет назад. С тех пор люди восхищаются КМ и пытаются понять его философский смысл.

Чтобы изготовить КМ, нужно взять длинный узкий лист бумаги, так называемую «базовую ленту», закрутить его на ½ оборота, свернуть кольцом и склеить его концы. Получится фигура в форме кольца, которую и называют кольцом Мёбиуса.

Если закрашивать обычный лист бумаги, то его можно окрасить в 2 цвета - каждую из поверхностей в свой цвет. Границей окрашивания будут края листа. С кольцом Мёбиуса, склеенным из такого же листа, это не получится. При попытке окрасить одну его поверхность, он оказывается закрашенным полностью.

Прежде чем продолжить рассказ о КМ, определимся, какие понятия заложены, в данном случае, в слова «поверхность» и «сторона».

«Поверхность» - это часть, например, обычного листа бумаги или базовой ленты или кольца, отделенная от других её частей краями. То есть, у обычного листа бумаги (фанеры, стали и др.) всегда имеется две поверхности разграниченные краями. Нельзя перейти с одной поверхности на другую, не пересекая при этом край.

«Сторона» – это часть поверхности листа, ленты или кольца из одной точки которой можно перейти в любую другую её точку, не пересекая край. Проще говоря, можно провести непрерывную черту, от любой одной точки до любой другой точки и не пересечь при этом край.

Таким образом, у обычного листа или у плоской ленты количество поверхностей равно количеству её сторон, то есть двум.

А вот у КМ это не так. Ведь количество поверхностей у плоской базовой ленты, из которого оно изготовлено, равнялось двум и при изготовлении из неё КМ они никуда не делись. То есть у КМ две поверхности. Но, с другой стороны, как уже сказано выше, при попытке окрасить одну из поверхностей КМ, оно оказывается закрашенным полностью. То есть у него только одна сторона. В этом, собственно, и заключается противоречивость показателей КМ, плохо укладывающееся в обычную человеческую логику.

При разрезании КМ на две равные по ширине части, образуется одно кольцо с длиной окружности в два раза большей, чем у КМ. Оно имеет две стороны. 

Если же КМ разрезать по линии, отступающей на 1/3 от края, получаются два, продетых друг в друга кольца разного размера. Одно – одностороннее, такого же размера, как КМ. Второе - двухстороннее и в два раза длиннее, чем КМ.

До последнего времени считалось, что КМ уникально по своим свойствам, а односторонних фигур, имеющих несколько (более двух) поверхностей не существует. Во всяком случае, их материальные модели нигде не описаны. Но, на самом деле, это не так.

Чтобы убедиться в том, что КМ не является чем-то уникальным, нужно было выйти за пределы привычного для нас стереотипного представления об односторонних фигурах. В данном случае, придумать, изготовить и изучить материальные модели односторонних фигур с количеством поверхностей большим, чем две. Такая работа была выполнена и её результаты представляются Вашему вниманию.

Методическая часть

Сразу же условимся, что речь, в данной работе, идет именно о материальных моделях фигур, а не об абстрактных математических фигурах. Хотя, естественно, показатели и свойства этих материальных фигур не должны противоречить законам математики.

Первый вопрос, который возникает при изготовлении материальных моделей: каким образом у базовой ленты, то есть обычного длинного плоского листа бумаги, может быть больше 2-х поверхностей?

Действительно, если это просто лист бумаги, то у него имеется только две поверхности, разделенные границей – краями листа. Мы можем окрасить каждую из поверхностей в свой цвет. Поперечное сечение плоского листа выглядит как линия, рис. 1.

Поперечное сечение обычного, плоского листа. Он, естественно, имеет две поверхности. На рисунке одна поверхность листа окрашена в красный, а вторая в зеленый цвет.

Теперь, представим себе, что базовая лента не плоская, а имеет в сечении вид буквы Y. В этом случае, как видно на рис. 2, у ленты будет три поверхности разграниченных краями. Каждая из поверхностей представляет собой ленту, согнутую вдоль под углом 120°.

А чтобы базовая лента имела 4 поверхности, она должна иметь в сечении форму буквы Х, рис. 3.

Поперечное сечение базовой ленты Y с тремя поверхностями.

Поперечное сечение базовой ленты X с четырьмя поверхностями.

Посмотрев на рис. 2 и 3 легко представить себе, как будут выглядеть сечения базовых лент с 5-ю, 6-ю и более поверхностями.

В качестве примера, приводим описание процесса изготовления в материале базовой ленты с четырьмя поверхностями.

Для этого понадобятся: лист бумаги, длиной 70 – 80 см., ножницы, фломастер или шариковая ручка и клей для бумаги. Ещё удобнее, вместо клея использовать бумажную «малярную ленту» шириной 5 см. Такую ленту, с нанесенным на одну её сторону липким слоем, продают в виде рулонов в большинстве магазинов хозтоваров, в отделе лакокрасочных материалов.

Бумагу нарезаем лентами шириной по 6 см. Затем, берем две ленты и складываем каждую из них вдвое, по линии сгиба (рис. 4).

Две сложенные вдоль ленты, шириной по 3 см. каждая, прикладываем друг к другу линиями сгиба и склеиваем их между собой по всей длине липкой малярной лентой (рис. 5).

Затем, переворачиваем полученную «конструкцию» на другую сторону и укрепляем её, наклеив малярную ленту на место соединения сложенных лент, с другой стороны. Получается базовая лента с четырьмя поверхностями. Остается расправить ленту и убедиться, что в поперечном сечении она имеет вид креста, или звезды с четырьмя лучами (рис. 3).

Две сложенные вдоль ленты, шириной по 3 см. каждая, прикладываем друг к другу линиями сгиба и склеиваем их между собой по всей длине липкой малярной лентой

Для наглядности, фрагмент базовой ленты Х с четырьмя поверхностями, приведен на рис. 6 в аксонометрии. На рис. 6 видно, что каждая из поверхностей базовых лент представляет собой длинную, узкую полосу, согнутую вдоль по серединой линии.

Фрагмент базовой ленты Х с четырьмя поверхностями.

Более подробно процесс изготовления базовых лент и колец из них описан в статье «Как сделать одностороннее кольцо с непредсказуемыми свойствами» на форуме http://moebius.ucoz.com/

Для проведения исследований были изготовлены и изучены кольца из базовых лент, имеющих от двух до пятнадцати поверхностей (табл. 1).

При проведении экспериментов и обсуждении их результатов, в качестве эталона сравнения использовали, естественно, кольцо Мёбиуса. Поэтому и на базовой ленте с двумя поверхностями (для КМ) и на базовых лентах с тремя, четырьмя и более поверхностями, делали одинаковую разметку, приведенную на рис. 7.

Наименования базовых лент и количество поверхностей у них.

Схема разметки поверхностей базовых лент, используемых для изготовления исходных фигур, линиями по которым будут эти фигуры разрезать.

Условные термины, обозначения и сокращения, использованные в работе

Исходная фигура - фигура в форме кольца, полученного соединением концов базовой ленты.

Автор считает целесообразным, кольца, получаемые непосредственно из базовых лент путем соединения их концов, называть «исходными фигурами». Это позволяет при обсуждении результатов экспериментов не путать их с теми кольцами, на которые распадаются исходные фигуры, после их разрезания по линиям ω---ω, τ---τ и  σ---σ.

Угловой сектор – средняя величина угла между лучами на поперечном сечении базовой ленты. Например, у ленты с тремя поверхностями угловой сектор равен 360°: 3 = 120°, а у ленты с пятью поверхностями 360°:5 = 72°.

Δпереход - количество угловых секторов, на которое сдвигаются концы базовых лент относительно друг друга, при закручивании базовой ленты вокруг оси ω---ω, перед склеиванием её концов.

Npb - количество поверхностей у базовой ленты;

Np - количество поверхностей у исходных фигур и у колец. У исходных фигур Np = Npb;

У колец, образующихся после разрезания исходной фигуры, количество поверхностей (Np) может быть самым разным, поэтому их нужно каждый раз считать.

Ns - количество сторон у исходных фигур и у колец; 

Nk – количество краёв у исходных фигур и у колец;

Lo – длина окружности исходной фигуры. Она используется в качестве эталона для сравнения и поэтому всегда, условно, принимается равной единице;

Lω - длина непрерывной черты, проведенной по линии ω---ω;

Lτ - длина непрерывной черты, проведенной по линии τ---τ;

Lσ - длина непрерывной черты, проведенной по линии σ---σ;  

Nkol ω – количество колец, образующихся при разрезании исходной фигуры по линии ω---ω;  Nkol τσ – количество колец, образующихся при разрезании исходной фигуры по линии τ---τ или по линии σ---σ;

NLω  - количество непрерывных, не пересекающихся между собой черт, которые можно провести по линии ω---ω; 

Npω – количество поверхностей, через которые можно провести непрерывную черту по линии ω---ω;

NL τσ  - количество непрерывных, не пересекающихся между собой черт, которые можно провести по поверхности исходной фигуры, по линии τ---τ или по линии σ---σ;

Экспериментальная часть

Концы базовых лент закручивали вокруг оси ω---ω на заданный угол (то есть на заданное число градусов, или на соответствующее им количество Δ переходов) относительно друг друга (табл. 2). Затем, закрученные спиралью базовые ленты сворачивали кольцом и склеивали их концы. Получали трехмерные фигуры в форме колец, называемые нами в дальнейшем «исходными фигурами» (см. раздел «Условные термины, обозначения и сокращения, использованные в работе»). Обозначения исходных фигур, при их обсуждении, составлены из наименования их базовой ленты (Y, X, P, Okt, Dek и др., см. табл. 1) и угла закручивания базовых лент. Например, название исходной фигуры «Dek-252» означает, что она получена из базовой ленты с десятью поверхностями, закрученной на 252° (то есть на 7 Δ переходов).

Углы закручивания базовых лент при изготовлении исходных фигур и количества соответствующих этим углам Δ переходов.

Внешний вид одной из изученных в работе исходных фигур (фигура Х-270) и её поперечный разрез приведены, в качестве примера, на рис. 8 – 9.

Полученные исходные фигуры изучали. Сначала по их поверхностям проводили непрерывные черты по линиям ω---ω, τ---τ и σ---σ (рис. 7) и подсчитывали, сколько таких непрерывных и не пересекающихся между собой черт, можно провести по поверхности каждой из исходных фигур. Затем, исходные фигуры разрезали по этим же линиям и считали, на сколько колец они распадались, а также сравнивали длины окружности получаемых колец с длиной окружности их исходных фигур (Lo). Подсчитывали также число сторон (Ns) и краев (Nk) у полученных колец.

Полученные результаты оформляли в виде диаграмм. В качестве примеров такого оформления результатов, приведены диаграммы для колец из базовой ленты X с четырьмя поверхностями, при угле закручивания ленты 270 °(исходная фигура Х-270, рис. 10) и из базовой ленты G с шестью поверхностями, при угле закручивания ленты 120 °(исходная фигура G-120, рис. 11).

На рис. 10 видно, что при угле закручивания базовой ленты Х на 270°, получаемая из неё исходная фигура (на диаграмме обозначена желтым прямоугольником 1) имеет одну сторону (Ns = 1). Это следует из того, что непрерывная черта, проведенная по ней (голубой прямоугольник 2), проходит через все четыре поверхности базовой ленты Х. То есть, из любой точки поверхности исходной фигуры Х-270 мы можем попасть в любую другую её точку. Следовательно, исходная фигура Х-270 имеет только одну сторону.

При разрезании фигуры Х-270 по линии ω---ω, она превращается в одно двухстороннее кольцо с длиной окружности в 4 раза больше, чем у исходной фигуры (голубой прямоугольник 3). Последующие разрезания вдоль кольца Х-270-2 (голубой прямоугольник 4) не меняют его показателей.

Диаграмма результатов экспериментов с исходной фигурой Х-270 (Δ = 3).

При разрезании исходной фигуры Х-270 по линиям τ---τ или σ---σ (зеленый прямоугольник 6) она распадается на два продетых друг в друга кольца. Одно из этих колец идентично исходной фигуре (желтый прямоугольник 9 ), а другое имеет две стороны и длину окружности в 4 раза больше, чем у исходной фигуры ( зеленый прямоугольник 7).

Аналогичное исследование исходной фигуры G-120 (рис. 11), полученной из базовой ленты G, при закручивании её на 120°, показало, что по поверхности этой фигуры можно провести две непрерывных, не пересекающихся между собой черты. Каждая их этих черт проходит через три из шести поверхностей базовой ленты G (голубой прямоугольник 2). Следовательно, исходная фигура G-120 имеет 2 стороны (желтый прямоугольник 1).

При разрезании фигуры G-120 по линии ω---ω, она распадается на два продетых друг в друга плоских перекрученных кольца, каждое из которых имеет длину окружности в три раза больше, чем окружность исходной фигуры G-120 (голубой прямоугольник 3).

Диаграмма результатов экспериментов с исходной фигурой G-120 (Δ = 2).

При разрезании исходной фигуры G-120 по линиям τ---τ или σ---σ (зеленый прямоугольник 6) она распадается на три продетых друг в друга кольца, одно из которых идентично исходной фигуре (желтый прямоугольник 9), а два других имеют по две стороны и длины окружностей в 3 раза больше, чем у исходной фигуры (зеленый прямоугольник 7).

На рис. 10 и 11 приведены диаграммы результатов изучения показателей только двух исходных фигур и колец из них. Это сделано в качестве примера первичной обработки результатов исследований. На самом деле, при выполнении работы было изучено более 90 исходных фигур, указанных в табл. 2, а также все кольца, полученные при их разрезании.

Для уменьшения объёма описания экспериментальной части работы, остальные диаграммы в ней не приведены, а сразу приведены таблицы и графики, сделанные по результатам обработки диаграмм.

Две из этих таблиц, для исходных фигур серий Y и Okt, приведены, в качестве примеров, ниже. Таблицы для остальных изученных серий исходных фигур и колец из них выполнены по такому же принципу.

Показатели исходных фигур из базовой ленты Okt с восемью поверхностями.

На основе данных таблиц, построены графики, приведенные на рис. 12 - 15. На этих графиках сведены вместе некоторые показатели исходных фигур всех изученных серий. Параметры исходных фигур на этих графиках приведены в виде их зависимостей от величины углов закручивания базовых лент. А поскольку ось абсцисс на всех сравниваемых графиках одинаковая, это позволяет удобно сравнивать полученные для разных серий исходных фигур результаты между собой.

Однако, фактически, параметры материальных исходных фигур зависят не от абсолютной величины углов закручивания моделей их базовых лент, а от количества Δ переходов, на которые концы лент были повернуты относительно друг друга перед их склеиванием. Но, с другой стороны, если ось абсцисс на рисунках размечать только в Δ переходах, то сравнивать на графиках и обсуждать результаты экспериментов, проведенных с исходными фигурами разных серий, становится крайне неудобно. Это обусловлено тем, что при одинаковых углах поворотов базовых лент разных серий количество Δ переходов может отличаться в разы. Поэтому сравниваемые графики придется рисовать в разных масштабах, а это ставит под сомнение саму правомерность их сравнения. Это хорошо видно, например, на рис. 15.

Чтобы устранить данное противоречие, на части графиков (там где это было необходимо) градуировка оси абсцисс, наряду с углами закручивания ленты, продублирована ещё и количеством Δ переходов. Это позволяет рассмотреть результаты работы более углубленно, чем, если бы была использована ось абсцисс, размеченная только в градусах углов закручивания базовой ленты.

При такой «двойной» разметке оси абсцисс, мы имеем возможность использовать при обсуждении две точки отсчета, что позволяет лучше понять сущность полученных результатов. В последующем эти данные были использованы при разработке алгоритмов, позволяющих «предсказать» показатели исходных фигур и колец, образующихся при их разрезании, не изготавливая их материальных моделей.

Целесообразность рассмотрения полученных в работе результатов с двух точек зрения, хорошо видно в таблице 4 для исходных фигур серии Okt.  В столбце 4 этой таблицы показан порядок перехода непрерывной черты, проведенной по линии ω---ω, с одной поверхности на другую, в зависимости от количества Δ переходов на которые были повернуты концы базовой ленты (столбец 5).

В столбце 4 таблицы 4 видно, что эта черта проходит по поверхностям в определенном порядке. Осью симметрии является отметка 180° ( Δ=4). По равноудаленным от неё исходным фигурам (в таблице их параметры окрашены в одинаковые цвета) непрерывная черта по серединной линии ω---ωпереходит с одной поверхности исходной фигуры на другую в той же последовательности, что и по симметрично расположенным им фигурам, находящимся по другую сторону отметки 180° ( Δ=4) . Термин «равноудаленным» означает, в данном случае то, что исходные фигуры удалены от отметки 180° на одинаковое количество Δ переходов. В серии Okt равноудаленными являются исходные фигуры с Δ=3 и Δ=5, с Δ=2 и Δ=6, с Δ=1 и Δ=7, с Δ=0 и Δ=8.

Аналогичные эксперименты были проведены и с другими изученными сериями исходных фигур. Во всех случаях, симметричность (относительно отметки 180°) порядка прохождения непрерывной черты по линии ω----ω исходных фигурподтвердилась.

На рис. 12 приведены графики зависимости количества сторон у исходных фигур, изготовленных из базовых лент, имеющих от 2-х до 6-ти поверхностей, от углов закручивания лент. Кривая Y на нем соответствует данным таблицы 3.

Зависимость количества сторон у исходных фигур серий M, Y, X, P и G от углов закручивания их базовых лент.

На рис. 12 видно, что в пределах одного оборота базовой ленты вокруг оси ω---ω от 0° до 360°, исходные фигуры имеют следующие показатели:

• из базовой ленты «М» (лента Мёбиуса), имеющей 2 поверхности, односторонняя исходная фигура получается при закручивании ленты на половину оборота, то есть на 180° (на один Δ переход);
• из базовой ленты «Y», имеющей 3 поверхности, односторонние исходные фигуры получаются при её закручивании на 120° (на один Δ переход) и на 240° (на два Δ перехода);
• из базовой ленты «Х», имеющей 4 поверхности, односторонние исходные фигуры получаются при её закручивании на 90° (один Δ переход) и на 270° (три Δ перехода). При угле закручивания 180° (два Δ перехода), получается двухсторонняя исходная фигура;
• из базовой ленты «Р», имеющей 5 поверхностей, односторонние исходные фигуры получаются при её закручивании на 72°, 144°, 216° и 288° (на 1, 2, 3, и 4 Δ перехода, соответственно), то есть при всех углах поворотов, кроме 0° и 360°;
• из базовой ленты «G», имеющей 6 поверхностей, односторонние исходные фигуры получаются при её закручивании на 60° (один Δ переход) и на 300° (пять Δ переходов). При углах закручивания ленты на 120° (два Δ перехода) и на 240°(четыре Δ перехода), получаются двухсторонние исходные фигуры. При угле закручивания ленты на 180° (три Δ перехода), получается трехсторонняя исходная фигура.

На графиках, приведенных на рис. 12 видно, что, прямой зависимости между количеством поверхностей у базовых лент и числом сторон у получаемых из них исходных фигур нет.

Общим для всех рассмотренных случаев является то, что, если склеивать концы базовых лент, не закручивая их предварительно вокруг оси ω---ω, то есть при угле закручивания 0°, или после закручивания на полный оборот, то есть на 360°, получаются исходные фигуры у которых количество сторон равно числу поверхностей их базовых лент.

На рис. 12 видно так же, что при углах закручивания базовых лент ближайших к 0° и к 360°. Из них получаются односторонние исходные фигуры независимо от того, сколько поверхностей было у их базовых лент.

Результаты, приведенные на рис. 12 показывают, что какие-то зависимости в ряду исходных фигур в форме колец с разным количеством поверхностей явно есть.

Однако, для установления конкретных закономерностей между числом поверхностей у базовых лент, углами их закручивания вокруг осиω---ω и количеством сторон у получаемых исходных фигур, приведенного выше материала было недостаточно. Поэтому круг объектов изучения был расширен и проведены исследования, по результатам которых построены графики, аналогичные вышеприведенным на рис. 12, для исходных фигур из базовых лент, имеющих до 15 поверхностей, рис. 13 ÷ 15.

На этих рисунках зависимости показателей исходных фигур скомпонованы не принципу возрастания количества поверхностей у их базовых лент, а поделены на 3 группы, в зависимости от того, какими числами выражается количество поверхностей у их базовых лент:

• простыми, рис. 13;
• составными четными, рис. 14;
• составными нечетными, рис. 15.

Напоминаю, что «простые числа» - это натуральные числа, которые имеют только два делителя: единицу и само себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. 

Зависимость количества сторон у исходных фигур от углов поворотов их базовых лент. Для фигур с количеством поверхностей, выражаемым составными четными числами.

Зависимость количества сторон у исходных фигур от углов поворотов их базовых лент и количества Δ переходов. Для фигур с количеством поверхностей, выражаемым составными нечетными числами.

На рис. 13 – 15 видны характерные особенности каждой из трех групп исходных фигур.

В группе исходных фигур, которые имеют количество поверхностей, выражаемое простыми числами: 2, 3, 5 и 7 (рис.13), фигуры, получаемые при всех углах закручивания базовых лент, кроме первой и последней точек первого оборота (0° и 360°, соответственно) получаются односторонними.

В группе исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными четными числами: 4, 6, 8 и 10 (рис.14), число сторон, в пределах одного оборота базовой ленты, проходит через один или несколько экстремумов. При этом, один из экстремумов всегда приходится на середину оборота. В этой точке количество сторон у исходных» фигур равно половине количества их поверхностей.

В группе исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными нечетными числами: 9 и 15 (рис.15), число сторон, в пределах одного оборота базовой ленты, проходит через несколько экстремумов. При этом, количество экстремумов всегда четное и ни один из них не приходится на середину оборота (цикла).

На основе обобщенных экспериментальных данных, приведенных на рис. 13 ÷ 15, построена таблица 5. В этой таблице сведены вместе число сторон у исходных фигур и количество Δ переходов, на которое были закручены их базовые ленты перед склеиванием концов.

Зависимость числа сторон у исходных фигур от количества Δ переходов, при закручивании их базовых лент вокруг оси ω---ω.

В таблице 5 видно, что при Δ=1 и при Δ= Ns ±1 все исходные фигуры, независимо от того, сколько поверхностей было у их базовых лент, являются односторонними. При Δ=0 и при Δ= Ns у всех исходных фигур, число сторон (Ns) равно числу поверхностей их базовых лент (Npb).

Данные, приведенные в табл. 5, представлены в виде графика на  рис. 16. Для построения этого графика использовали показатели всех изученных исходных фигур, независимо от того, простым или составным числам соответствует количество поверхностей у их базовых лент.

На рис. 16 видно, что точки графиков всех исходных фигур, соответствующие завершению одного полного оборота базовой ленты, то есть на 360°, построенные в координатах Ns = f (Δ), ложатся на одну прямую. Эта прямая выходит из начала координат и проходит через точку с координатами Ns=1 и Δ=1. 

Вокруг каждой из точек, соответствующих исходным фигурам, нарисован круг. Условный диаметр каждого из кругов соответствует, в масштабе, диаметру кольца, получаемого при разрезании по серединной линии ω --- ω, соответствующей односторонней исходной фигуры. То есть разрезанию такой фигуры, которая получается при закручивании базовой ленты на один Δ переход. 

На рис. 16 эти круги изображены видимыми с боку, под углом, поэтому они выглядят как эллипсы.

Рис. 16 наглядно показывает, что односторонние исходные фигуры в форме колец составляют единую систему, независимо от того какими числами (простыми, составными четными или составными нечетными) выражается число поверхностей у их базовых лент. Кольцо Мёбиуса входит в эту систему в качестве начальной фигуры.

Поскольку, на рис. 16 точка с координатами Ns=1 и Δ=1 соответствует получению односторонней исходной фигуры с двумя поверхностями, известной как «кольцо Мёбиуса», то автор осмелился назвать эту точку «точкой Мёбиуса». Эта точка одинакова для всех систем исходных фигур. То есть, при Δ=1 всегда получаются односторонние исходные фигуры (Ns=1), независимо от того, сколько поверхностей было у их базовых лент.

Все вышеописанные результаты получены при изучении параметров исходных фигур и колец, которые получаются при их разрезании, в пределах одного полного оборота базовых лент, то есть их закручивании от 0° до 360°. Поэтому, было необходимо проверить, сохранится ли порядок изменения (цикличность) показателей исходных фигур, при закручивании базовой ленты на несколько оборотов. Результаты приведены на рис. 17, на котором видно, что цикличность сохраняется. Следовательно, закономерности, полученные при первом полном обороте базовой ленты (от 0° до 360°), можно экстраполировать и на следующие обороты.

Относительный размер колец, образующихся при разрезании односторонних исходных фигур по серединной линии ω---ω, при Δ = 1.

Зависимость количества сторон у исходных фигур серий М, Y и Х от углов поворотов их базовых лент.

Поскольку изученные односторонние фигуры составляют единую СИСТЕМУ, это позволило автору разработать алгоритмы для предсказания основных показателей исходных фигур с любым количеством поверхностей, без изготовления их моделей в материале. Разработаны 3 алгоритма для исходных фигур полученных из базовых лент, количество поверхностей у которых выражается: 1) простыми, 2) составными четными и 3) составными нечетными числами.

Алгоритмы приведены на рис. 18 - 20, а примеры их использования в табл. 6 - 8.

Условные обозначения и сокращения, использованные в алгоритмах, приведены в методической части.

Алгоритм предсказания основных показателей исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым простыми числами.

Число сторон (Ns) у исходных фигур, с количеством поверхностей (Np), выражаемым простыми числами, в зависимости от количества Δ переходов на которое были закручены их базовые ленты.

Алгоритм предсказания основных показателей исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными четными числами.

Если «исходная» фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое четным составным числом, то количество колец из неё будет равно целому числу, на которое без остатка делится Npb. При этом, частное от деления тоже должно быть целым числом.

Число сторон (Ns) у исходных фигур, с количеством поверхностей ( Np), выражаемым составными четными числами, в зависимости от количества Δ переходов на которое были закручены их базовые ленты.

Выше красной черты – экспериментальные данные.

Ниже красной черты - данные найденные с помощью алгоритмов.

Если количество Δ переходов равно четному числу, то число сторон (Ns) у исходных фигур тоже будет четным.

Если количество Δ переходов равно нечетному числу, то число сторон (Ns) у исходных фигур будет нечетным.

При Δ=1 и при Δ= Np-1, число сторон (Ns) у всех исходных фигур будет равно единице.

При Δ=2 и при Δ= Np-2 число сторон (Ns) у всех исходных фигур будет равно двум.

При Δ= Np :2, число сторон (Ns) у всех исходных фигур будет равно Np :2.

Алгоритм предсказания основных показателей исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными нечетными числами.

Если исходная фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое нечетным составным числом, то количество колец из неё будет равно целому числу, на которое без остатка делится Npb. При этом, частное от деления тоже должно быть целым числом.

Число сторон (Ns) у исходных фигур, с количеством поверхностей (Np), выражаемым составными нечетными числами, в зависимости от количества Δ переходов на которое были закручены их базовые ленты.

Выводы

1. Впервые установлено, что существует СИСТЕМА материальных фигур в форме колец, с односторонней поверхностью и с одним краем. Фигуры могут быть получены из базовых лент с любым количеством поверхностей. Изучены основные закономерности СИСТЕМЫ и показано, что кольцо Мёбиуса является её составной частью.

2. Выявлено, что показатели исходных фигур, изготовленных путем соединения концов свернутых кольцом базовых лент,зависят от того, на сколько угловых секторов были повернуты концы ленты относительно друг друга перед их соединением.

3. Показано, что если при изготовлении исходных материальных фигур базовые ленты закручены на один (360°) или на несколько полных оборотов, то получаемые исходные фигуры имеют такие же показатели, как и их базовые ленты.

4. Выявлено, что если соединить концы базовой ленты, имеющей любое количество поверхностей, повернув эти концы на один угловой сектор относительно друг друга, всегда получается замкнутая сама на себя трехмерная исходная фигура в виде одностороннего кольца с одним краем.

5. Установлено, что количества сторон и краев у исходных фигур, с изменением угла поворота концов базовой ленты вокруг оси ω---ω, изменяются циклически. Каждый цикл составляет один полный оборот ленты (360°), после чего повторяется.

6. Выявлено, что если базовая лента имеет количество поверхностей, выражаемое простым числом, то все получаемые из неё исходные фигуры в форме колец, при любых углах поворотов базовой ленты, кроме 0°, 360° и кратных 360°, будут односторонними.

7. Установлено, что внутри каждого цикла (полного оборота базовой ленты), число сторон у исходных фигур, получаемых из лент с количеством поверхностей, выражаемым четными составными числами, проходит через один или несколько экстремумов. При этом, один из экстремумов всегда приходится на середину цикла. В этой точке экстремума количество сторон у исходных фигур равно половине количества их поверхностей.

8. Выявлено, что внутри каждого цикла, число сторон у исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым нечетными составными числами, проходит через несколько экстремумов. При этом, количество экстремумов всегда четное и ни один из них не приходится на середину цикла.

9. Показано, что если по поверхности односторонней исходной фигуры провести, не переходя края, непрерывную черту по серединной линии ω----ω, или по линиям σ---σ и τ---τ, то каждая из черт проходит по всем поверхностям и возвращается в исходную точку. Длина черт получается во столько раз больше длины окружности исходной фигуры, сколько поверхностей имела базовая лента. При этом черты проведенные по линиям σ---σ и τ---τ, проходят либо только по частям базовой ленты обозначенным литерами «А», либо только по частям обозначенным литерами «В».

10. Выявлено, что если непрерывная черта, проведенная по линии ω----ω, проходит, не переходя края, только через часть поверхностей исходной фигуры, то таких черт, можно провести несколько. Их количество (NLω), будет равно количеству сторон у исходной фигуры (Ns).

11. Установлено, что если непрерывная черта, проведенная по линии ω---ω проходит только через часть поверхностей исходной фигуры, и таких черт можно провести несколько, то, после разрезания исходной фигуры по серединной линии ω----ω, получается несколько колец:

Nkol ω = Npb : Npω

где:

• Nkol ω – количество колец, образующихся при разрезании исходной фигуры по линии ω---ω;
• Npb - количество поверхностей у базовой ленты;
• Npω - количество поверхностей, через которые проходит непрерывная черта по линии ω---ω;

12. На основании установленных при изучении системы колец закономерностей, разработаны алгоритмы, используя которые можно предвидеть основные показатели исходных фигур, получаемых из базовых лент с заданным количеством поверхностей не изготавливая их материальных моделей. Например, предвидеть количество сторон исходных фигур, а так же то, на сколько колец исходная фигура распадётся после её разрезания по линиям ω----ω, τ---τ и σ---σ. 

Часть этих закономерностей перечислена в выводах 4 6, 7, 8 и 11, а остальные приведены ниже:

- если исходная фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое простым числом, то количество колец, образующихся при её разрезания по серединной линии ω----ω, будет равно либо количеству поверхностей исходной фигуры, либо единице. Например:

Фигура М ……………………… 2 и 1

Фигура Y ……………………… 3 и 1

Фигура Р ……………………… 5 и 1

Фигура Gep …………………... 7 и 1

- если исходная фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое составным числом, то количество колец, образующихся при её разрезании по серединной линии ω---ω,  будет равно целому числу, на которое без остатка делится Npb. При этом, частное от деления тоже должно быть целым числом. Например:

Фигура X ………………….…….1, 2, 4

Фигура G ……………………… 1, 2, 3, 6 

Фигура Okt…………………… 1, 2, 4, 8 

Фигура Non …………………… 1, 3, 9

Фигура Dek …………………… 1, 2, 5, 10

Фигура Pen …..........................1, 3, 5, 15 

Автор: Шангин Юрий Александрович

Автор благодарит господина Бабия Артема Петровича выполнившего рисунки 8 и 9: «Односторонняя исходная фигура с 4-мя поверхностями (Х-270) и его поперечный разрез».

Разместил статью: Yury-777
Дата публикации:  18-11-2013, 00:42

html-cсылка на публикацию		⇩ Разместил статью ⇩ Шангин Юрий Александрович  Его публикации  Нужна регистрация Отправить сообщение
BB-cсылка на публикацию
Прямая ссылка на публикацию

Огромное Спасибо за Ваш вклад в развитие отечественной науки и техники!