О кольце Мёбиуса. Часть 1.

В литературе встречается несколько названий: проективная  плоскость, односторонняя поверхность, лента Мёбиуса, петля Мёбиуса, кольцо Мёбиуса. По укоренившейся у меня привычке в дальнейшем я буду называть предмет нашего изучения кольцом Мёбиуса.

сли разрезать кольцо Мёбиуса вдоль по средней линии, то в итоге получится кольцо с двойным полуоборотом.

Коротко об общеизвестных сюрпризах кольца Мёбиуса. Это необходимо для понимания того, о чем будет рассказано далее.

• Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль по средней линии, то в итоге получится кольцо с двойным полуоборотом. Такое кольцо называют *Афганской лентой* и оно является уже двусхторонней поверхностью с двумя краями (кромками).
• Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль края, отступив на 1/3 его ширины, то в итоге получатся два кольца разных размеров: меньшее –   кольцо Мёбиуса (односторонняя поверхность) и большее - *Афганская лента* (двусторонняя поверхность).  Эти кольца сцеплены друг с другом.

А сейчас о новых сюрпризах. Они малоизвестны для широкой публики. А самые любознательные читатели могут повторить нижеописанные опыты. Автор очерка не являеется профессиональным математиком-топологом, всё придумал самостоятельно, без посторонней помощи. Поэтому результаты опытов и идеи, высказанные в этом очерке, предлагаются для обсуждения с его автором.

Сюрприз №1

Сначала я попробовал склеить кольцо Мёбиуса не из одной, а из двух полосок бумаги, предварительно уложив их в стопку (Фото 1). Получилось нечто похожее на настоящее кольцо Мёбиуса(Фото2):

Получилось нечто похожее на настоящее кольцо Мёбиуса

Почему “нечто похожее”? Потому что, когда я растянул это кольцо, оказалось, что в результате склейки получилась “афганская лента” (Фото 3).

афганская лента

И в чем тут сюрприз? А в том, что при растягивании исходного кольца, не нарушалась его целостность. Это значит, что “афганская лента” достаточно просто складывается в обратном порядке в исходное кольцо (псевдокольцо) Мёбиуса (Фото 4).

Сейчас время вспомнить, что “афганская лента” получается при разрезании настоящего кольца Мёбиуса по средней линии. Так вот, “афганская лента”, полученная при разрезании,  так же просто складывается в псевдокольцо Мёбиуса. Т.е., разрезав кольцо Мёбиуса (далее – кМ) по средней линии и получив “афганскую ленту”(“а.л.”), можно уже полученную “а.л.” собрать в псевдокольцо Мёбиуса (далее - ПкМ). Вы можете просто  склеить “а.л.” и сложить ее в ПкМ.  Проверено на практике.

Сюрприз  №2

Этот сюрприз является продолжением сюрприза 1. Я склеил уже три бумажные полоски  по форме кМ, предварительно уложив их в стопку (Фото 5 и 6).

афганская лента

Получился некий “бутерброд” в форме кМ (Фото 7). Если растянуть  этот “бутерброд”, то он разложится на два кольца: меньшее – это кМ и большее - это “а.л.”, сцепленные друг с другом (Фото 8).

Но такой же результат получается при разрезании кМ по ¹/₃ его ширины ! Как и в первом случае, эти два кольца  возможно собрать в первоначальное состояние “бутерброда”. Сначала “а.л.” укладывается в ПкМ (Фото 9), а затем  кМ помещается  в середину ПкМ (Фото 10).  Проверено на практике.

Удивительно, но, разрезав уже “бутерброд” по ¹/₃ ширины, можно собрать новый, более сложный “бутерброд”. Теоретически такое деление “бутербродов” и их собирание можно продолжать... ну  очень много раз. В итоге получится многослойный “бутерброд”, состоящий из многих слоёв “афганских лент” и одного кольца Мёбиуса, расположенного в середине “бутерброда”.

Для более образного представления многослойного (бутербродного) строения псевдокольца Мёбиуса предлагаю два рисунка из серии “математики шутят”:

На примере “бутерброда” (Фото 7,10) можно легко и зримо понять ещё одно свойство односторонней поверхности (проективной плоскости): нельзя создать две, параллельные друг к другу, однносторонние поверхности (во всяком случае в нашем трёхмерном, эвклидовом, пространстве). Одна из них обязательно получится  двухсторонней.

Здесь я сделаю  небольшое отступление. В Интернете я встретил описание эксперимента  с кольцом Мёбиуса. Выглядел он так: на полимерную плёнку в форме кМ наносился металлический слой. Над полученным образцом проводились различные действия, считая что проводятся опыты над кМ. Строго говоря, опыты проводились над вышеописанным “бутербродом”, где рабочий металлический слой являлся “афганской лентой”,  а  кольцом Мёбиуса  была несущая полимерная плёнка.

Возвращаясь к теме, хочу заметить, что я тоже хотел поэкспериментировать с кМ. Но меня не устраивала несовершенная форма кМ, полученная  из прямоугольных полосок.  Эта “прямоугольная”  конструкция имеет , как минимум, три зоны деформации, которые четко проявляются при уплощении кМ. Поэтому я  посчитал, что кМ, собранные  на основе S-образных полосок, более технологичны в работе(Фото 11 и 12).

Чтобы получить кМ изS-образной полоски достаточно состыковать концы полоски и склеить их. Причем, в зависимости от того в какую сторону вы будете перегибать полоску, будет получаться лево- или правозакрученный вариант кМ. Так же просто получается и вышеописанный “бутерброд”: делается стопка из 3-хS-образных полосок, сводятся их концы и поочередно склеиваются.

Опыты с разрезанием  кольца Мёбиуса и собиранием “бутербродов”  с этим вариантом  более наглядны и сборка получается очень легко.

“Бутерброд”, полученный из трех полосок может послужить моделью для создания конденсатора в форме кМ. Только надо понимать, что в начале необходимо создать кМ из металлической фольги (внутренняя пластина-электрод), а уже на него наносить слои диэлектрика и металлической плёнки (внешняя пластина-электрод). Хотя  здесь возможны варианты  не с кМ, а с ПкМ и это потребует несколько иного подхода.

Я не знаю, будет ли такая конструкция конденсатора иметь преимущества перед традиционной, но считаю, что она будет интересна для тех, кто занимается торсионными полями. Почему ? Это уже тема для дискуссии с автором очерка. 

Сюрприз №3

Продолжим. Несмотря на полученный результат, у меня осталась неудовлетворенность несовершенством формы полученного таким способом кМ.  Размышляя над этой проблемой, я вспомнил, что кМ относится к торовым поверхностям. Так как у меня с пространственным воображением напряг и мне необходимо  всё увидеть глазами и потрогать руками, то я взял кольцо Мёбиуса   и оклеил его бумажными кольцами. Получилась вот такая конструкция (Фото 13).

И где здесь обещанный сюрприз? Рассматривая полученный “тор”, я открыл (заостряю – для себя; возможно всё выше- и нижеописанное давно известно читателям  этого опуса), что кольцо Мёбиуса не делит внутренний объём тора на две изолированные друг от друга полости. Другими словами: из любой точки, находящейся внутри тора со встроенным в него кМ, можно попасть в любую другую точку  внутри, не пересекая плоскость кМ и поверхность тора.

Для наглядности представим себе тор в виде спасательного резинового круга внутри которого находится перегородка в виде кМ.  Давление воздуха внутри  круга с перегородкой в форме кМ будет распределятся равномерно по всему объёму независимо от того, где будет располагаться ниппель. Кстати, фото 13 очень наглядно моделирует форму магнитного поля вокруг продольной катушки Мёбиуса.

Теоретически принцип построения идеального торового кольца Мёбиуса достаточно прост, но практическое исполнение модели торового кМ сопряжено с определёнными техническими трудностями.

Для практического  изготовления  торовых кМ  более всего подходит  распечатка на 3-D принтере.

Итак, сюрпризы продолжаются

Сейчас наступило время поговорить о таком замечательном геометрическом теле как  ТОР.

Как образуется открытый ТОР? Правильно, открытый ТОР образуется при вращении торообразующей окружности вокруг оси, находящейся  вне этой окружности и имеет вот такой вид (Фото14).

открытый ТОР

Еще различают пиковый ТОР. Это когда большая ось вращения является касательной  к торообразующей окружности. По-простому – бублик без дырки. А также закрытый (осевой) ТОР, когда ось вращения пересекает торообразующую окружность. Хороший пример – округлое  яблоко. 

Для того, чтобы получить кМ  в ТОРе, обозначим в торообразующем круге диаметр (два радиус-вектора). А сейчас заставим торообразующий круг вращаться не только вокруг внешней оси, а одновременно и вокруг внутренней оси ТОРа. За полный оборот   вокруг внешней оси круг должен одновременно повернуться на полоборота вокруг внутренней оси. Тогда диаметр (два радиус-вектора) опишет плоскость в виде кМ (Фото 15).

Но это кМ получено в воображаемом опыте. А как же получить его в реале, не имея в наличии 3-D принтер? Вы можете придумать свой способ, отличный от моего. Я же поступил следующим образом. На поверхности открытого ТОРа (из детской пирамидки)  нарисовал траекторию движения радиус-векторов (Фото 16). Затем взял латунную проволоку, аккуратно обогнул её вокруг ТОРа по этой траектории и получил две половинки края (кромки) торового кМ (Фото 17).

Затем соединил их с помощью двух трубочек, а пространство между ветками полученной петли заполнил отрезками изоленты (Фото 18 и 19).

Кольцо Мёбиуса в ТОРе можно получить и с помощью одного радиус-вектора. При этом он должен одновременно сделать два оборота вокруг внешней оси и полный оборот вокруг внутренней оси. И здесь становятся понятными две вещи: первое - кМ имеет ось симметрии (или среднюю линию) и второе - почему, если разрезать кМ по средней линии, получается кольцо с двойным полуоборотом (*Афгaнская лента*). Просто представьте себе, что нарисует единичный радиус-вектор при первом обороте вокруг внешней оси, и что при втором. 

Внимательный читатель, склеивая кМ и затем разрезая его по средней линии, мог заметить что при этом ножницы совершают один оборот. Если же резать кМ по ¹/₃ ширины, то ножницы совершают уже два оборота.

КМ сохраняет свойства односторонней поверхности и при большем количестве полуоборотов. Главное условие – количество полуоборотов должно быть нечетным. 

Такой лист Мёбиуса или кольцо Мёбиуса, как кому нравится, я назвал двухвекторным. Зачем? А затем, что такое кольцо строится двумя радиус-векторами. Ну и что? А то, что...

Сюрприз №4

В торе можна создавать  трёх-, четырёх-, ...,N-векторные кольца Мёбиуса. Взгляните на Фото 20. Оно иллюстрирует принцип создания трехвекторного  кольца Мёбиуса.

принцип создания трехвекторного кольца Мёбиуса

В торообразующей окружности показаны три радиус-вектора – А, В, С. Вращая эту окружность вокруг внешней оси и одновременно закручивая её вокруг внутренней так, чтобы при завершении оборота вектор А состыковался с вектором В (соотвтственно вектор В к С, а С к А),  радиус-векторы опишут (создадут) одностороннюю  поверхность в виде  трехвекторного(трёхлепесткового) кольца Мёбиуса.

Это универсальный метод получения N-векторных односторонних поверхностей и они будут обладать всеми свойствами обычного кМ.

При таком подходе к построению торовых кМ особое значение приобретает средняя линия (по другому – линия сопряжения). В этом случае линия сопряжения совпадает с внутренней осью тора. Если, к примеру, 3-хвекторный кМ расшить по линии сопряжения, то мы получим вариант “афганской ленты” в тройной петле:

Трёхвекторное кМ, созданное по даной схеме,  можно обозначить в виде дроби  ¹/₃, где в знаменателе указывается число векторов, а сама дробь указывает на какой угол  закручиваестся каждый вектор при полном обороте.

Я назвал эту дробь индексом_км. Например, если я буду говорить о кМ с индексом_км=¹/_4, то это означает, что речь идёт о четырёхвекторном кМ с закрутом в ¹/₄ оборота (умножив на 360⁰, получим результат в градусах) или в 90⁰.  Индекс_км,выраженный в градусах – это базовый угол закрута. При этом надо помнить, что индекс_км не может принимать значение целого числа.

Приняв во внимание, что кМ может закручиваться по левому или правому винту, я обозначил левый винт знаком  ”-“, а правый винт – знаком “+”. Тогда полная запись индекса_км будет выглядеть на примере так: индекс_км = +¹/₄.  Значит речь будет идти о четырехвекторном кМ с закрутом в ¹/₄ оборота(базовый угол закрута - 90⁰) и правым винтом.

Индекс_км становится очень информативным показателем, помогающим достаточно быстро разобраться в огромном семействе многовекторных кМ и их различных сочетаниях.

Я не ставил перед собой задачу описывать и систематизировать всё многообразие семейства торовых кМ и их взаимосочетаний. Остановлюсь только на нескольких осбенностях, которые необходимо учитывать при конструировании девайсов с геометрией кМ.

1. Если индекс_км имеет общее кратное для числителя и знаменателя, то  при моделировании получается система из нескольких взаимопересекающихся кМ (от 2-х и более). Рассмотрим примеры 6-тивекторного построения.

Индекс_км =+²/₆, где общее кратное для данной дроби равно 2. Это означает, что при моделировании получится система из 2-х  трехвекторных кМ с базовым углом закрута в 120⁰:

 Два взаимопересекающиеся трехвекторные кМ.

Индекс_км =+³/₆, где общее кратное равно 3. При моделировании получается система из 3-х двухвекторных кМ с базовым углом в 180⁰:

Три взаимопересекающиеся двухвекторные кМ.

2. Если индекс_км  имеет вид  ¹/₄, ¹/₆, ¹/₈ … ¹/_2N  или  ³/₄, ⁵/₄, ⁵/₆, ⁷/₆ … ^2N±1/_2N (где N – любое натуральное число, начиная с числа 2), то при моделировании получается самопересекающееся кольцо Мёбиуса – от однократного самопересечения до многократного. При этом односторонность такого кМ сохраняется в любом случае. Приведу несколько примеров, подтверждающих данное утверждение:

Однократно самопересекающееся двухвекторное кМ	Двукратно самопересекающееся двухвекторное кМ
Троекратно самопересекающееся двухвекторное кМ	Четырекратно самопересекающееся двухвекторное кМ

Необходимо отметить,что истинные кМ, без исключений,  получаются в том случае, если в знаменателе индекса_км стоят простые числа.

На этом я завершаю первую часть очерка по теме геометрии кольца Мёбиуса.

Разместил статью: aleksandr128
Дата публикации:  15-04-2014, 23:04

html-cсылка на публикацию		⇩ Разместил статью ⇩ Александр Пославский  Его публикации  Нужна регистрация Отправить сообщение
BB-cсылка на публикацию
Прямая ссылка на публикацию

Огромное Спасибо за Ваш вклад в развитие отечественной науки и техники!